\section{匀速圆周运动}\label{sec:01.10}

一般情况角速率$\omega$是随$t$变化的，这时质点的速度的大小也
随$t$变化。以下讨论$\omega$不随$t$变化的特殊情况，即匀速圆周运动。
由式\eqref{eqn:01.09.03}，这时质点的速率也不变化。质点绕圆周一圈走过的
路程是$2\uppi r$。如果走一圈所用时间为$T$，则质点的速率是
\begin{equation}\label{eqn:01.10.01}
  v=\frac{2 \uppi r}{T}
\end{equation}
$T$为周期，比较式\eqref{eqn:01.10.01}、\eqref{eqn:01.09.03}，得到：
\begin{equation}\label{eqn:01.10.02}
  \omega=\frac{2 \uppi}{T}, \quad T=\frac{2 \uppi}{\omega}
\end{equation}
这也就是说，周期$T$等于质点转过$2\uppi$角度所需要的时间。

对于匀速圆周运动，$\vec{v}$的大小不变，而$\vec{v}$的方向时时在变，因
而它的加速度并不为零。由于速度方向总是垂直于矢量$\vec{r}$的，所
以在$t$到$t+\Delta t$间隔中，倘使$\vec{r}$转过角度$\Delta\varphi$，
则$\vec{v}$也就转过了$\Delta\varphi$。由于
$|\vec{v}\left(t\right)|=|\vec{v}\left(t+\Delta t\right)|=v$，由图\ref{fig:01.22}~的等腰三角形，得
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    |\vec{v}\left(t+\Delta t\right)-\vec{v}\left(t\right)| & =2 v \sin \frac{\Delta \varphi}{2}                   \\
                                                           & \approx 2 v\frac{\Delta \varphi}{2}=v \Delta \varphi
  \end{aligned}
\end{equation*}

\begin{figure}[!h]
  \small\centering
  \begin{minipage}[b]{14em}
    \includegraphics{figure/fig01.22}
    \vspace{1em}
    \caption{匀速圆周运动的加速度}
    \label{fig:01.22}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[b]{14em}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig01.23}
    \caption{加速度的方向}
    \label{fig:01.23}
  \end{minipage}
\end{figure}
\noindent 将此式代入式\eqref{eqn:01.08.03}，得
\begin{equation}\label{eqn:01.10.03}
  \begin{aligned}
    a & \equiv|\vec{a}|=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\vec{v}\left(t+\Delta t\right)-\vec{v}\left(t\right)|}{\Delta t} \\
      & =v\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \varphi|}{\Delta t}=v \omega=r \omega^{2}=\frac{v^{2}}{r}
  \end{aligned}
\end{equation}\vspace{0.5em}
上式推导中利用了式\eqref{eqn:01.09.02}、\eqref{eqn:01.09.03}。因为$v$或$\omega$都不随$t$变，
所以匀速圆周运动的加速度的大小也不随$t$变，但它的方向是时
时变化的。根据图\ref{fig:01.23}，当$\Delta t\rightarrow 0$时，
$\vec{v}\left(t+ \Delta t\right)-\vec{v}\left(t\right)=\Delta\vec{v}$的方
向趋于与$\vec{v}\left(t\right)$相垂直，并指向圆心。这样，匀速圆周运动的加速
度的大小由式\eqref{eqn:01.10.03}给出，而其方向总是指向圆心的。根据这
种方向上的特点，称这个加速度为向心加速度。

速度、角速度和加速度都是矢量，我们可把式\eqref{eqn:01.10.03}扩充
为矢量关系式:
\clearpage
~\vspace{-1.56em}
\begin{equation}\label{eqn:01.10.04}
  \vec{a}= \vec{\omega}\times \vec{v}
\end{equation}
它的正确性也留给读者自己去证明。
